分类（6）：不平衡和多分类问题

一、不平衡问题

（1）不平衡数据

例如：一个产品生产的不合格产品数量会远低于合格产品数量。信用卡欺诈的检测中，合法交易远远多于欺诈交易。
这时候，准确率的度量会出现一些问题，因为她把每个类都看得同等重要。
例如，1%的信用卡交易是欺诈行为，则预测每个交易都是合法的模型有99%的准确率，它也可能检测不到任何欺诈交易。

（2）混淆矩阵

在不平衡数据中，稀有类比较有意义，对于二元分类，稀有类通常记为正类，而多数类被认为是负类。下面显示了混淆矩阵：

真正（true positive，TP）：++
假正（false positive，FP）：-+
真负（true negative，TN）：–
假负（false negative，FN）：+-

真正率（true positive rate，TPR）或灵敏度（sensitivity）：
$$ TPR=\frac{TP}{TP+FN}=\frac{(++)}{(++)+(+-)}$$
真负率（true negative rate，TNR）或特指度（specificity）：
$$TNR=\frac{TN}{TN+FP}=\frac{(–)}{(–)+(-+)}$$
假正率（false positive rate，FPR）：
$$FPR=\frac{FP}{TN+FP}=\frac{(+-)}{(–)+(-+)}$$
假负率（false negative rate，FNR）：
$$ FNR=\frac{FN}{FN+TP}=\frac{(-+)}{(-+)+(++)}$$
精度（precision）：
$$ p=\frac{TP}{TP+FP}=\frac{(++)}{(++)+(-+)}$$
召回率（recall）即为真正率：
$$r=\frac{(TP)}{(TP)+(FN)}=\frac{(++)}{(++)+(+-)}$$
精度和召回率是很重要的度量量，称为 F1 统计量：
$$ F_{1}=\frac{2rp}{r+p}=\frac{2\times TP}{2\times TP+FP+FN}=\frac{2}{\frac{1}{r}+\frac{1}{p}}$$
F1 是召回率和精度的调和平均数，F1 趋近于它们之间的较小值，因此，一个高的 F1 确保精度和召回率都高。
Fb 的公式：
$$ F_{b}=\frac{(b^{2}+1)rp}{r+b^{2}p}=\frac{(b^{2}+1)}{\frac{1}{r}+\frac{b^{2}}{p}}$$
低的 b 使得 Fb 更加接近精度，高的 b 使得 Fb 更加接近召回率。

（3）接受者操作曲线（ROC）

是真正率和假正率取折中的一种图形化方法。真正率为 y 轴，假正率为 x 轴。

ROC的几个关键点：

（TPR=0,FPR=0）:把所有的都预测为负
（TPR=1,FPR=1）:把所有的都预测为正
（TPR=1,FPR=0）:理想模型。只要是正的，都预测为正。

一个好的分类器，尽量靠近左上角，随机猜想为对角线。

产生ROC曲线方法：

（4）代价敏感学习

模型 M 的代价：
$$ C_{t}(M)=TP\times C(+,+)+FP\times C(-,+)+FN\times C(+,1)+FN\times C(-,-)$$

如下是一个代价矩阵：

它可以把决策边界扩展：

对于代价矩阵，若 C(+,+)=C(-,-)=0 的情况，分类正确不需要代价，则：

求解可以得到决策边界。

基于抽样方法

对于样本进行处理，假设有100个正样本和1000个负样本。
不充分抽样（udersampling）：取和正样本一样数量的负样本，取100个负样本，形成训练集。
过分抽样（oversampling）：将正样本复制，或者重复抽样，使得正样本的数量和负样本一样1000个。

二、多类问题

1、one-vs-rest 方法。将多类问题分解为 K 个二类问题，将属于$y_{i}$的归为正类，而其他类被分为负类，依次进行。
2、one-vs-one 方法。它构建$\frac{K(K-1)}{2}$ 个二分类器，每一个分类器用来区分一对类 $(y_{i},y_{j})$ ，当为类 $(y_{i},y_{j})$ 建立分类器的时候，将不属于 $(y_{i},y_{j})$ 的样本忽略掉。

例子：